Главная - Интернет и право - Как вычитать разные корни

Как вычитать разные корни


Правила сложения квадратных корней


Сложение и вычитание корней — один из наиболее распространенных «камней преткновения» для тех, кто проходит курс математики (алгебры) в средней школе. Однако научиться правильно складывать и вычитать их очень важно, потому что примеры на сумму или разность корней входят в программу базового Единого Государственного Экзамена по дисциплине «математика».

Для того чтобы освоить решение таких примеров, необходимо две вещи — разобраться в правилах, а также наработать практику. Решив один-два десятка типовых примеров, школьник доведет этот навык до автоматизма, и тогда ему уже будет нечего бояться на ЕГЭ.

Начинать освоение арифметических действий рекомендуется со сложения, потому что складывать их немного проще, чем вычитывать . Проще всего объяснить это на примере квадратного корня.

В математике имеется устоявшийся термин «возвести в квадрат». «Возвести в квадрат» означает однократно умножить конкретное число само на себя.

Например, если возвести в квадрат 2, получится 4. Если возвести в квадрат 7, получится 49.

Квадрат числа 9 равен 81. Таким образом, квадратный корень из 4 — это 2, из 49 — это 7, а из 81 — это 9. Как правило, обучение этой теме в математике начинается именно с квадратных корней. Для того, чтобы сходу определять его, учащийся средней школы должен наизусть знать таблицу умножения.

Тем, кто нетвердо знает эту таблицу, приходится пользоваться подсказками. Обычно процесс извлечения корневого квадрата из числа приводится в виде таблицы на обложках многих школьных тетрадей по математике. Корни бывают следующих типов:

  1. пятой степени.
  2. четвертой степени;
  3. кубические (или так называемые третьей степени);
  4. квадратные;

И так далее.

В качестве степени может выступать любое число. Для того чтобы успешно решить типовой пример, необходимо иметь в виду, что не все корневые числа можно складывать друг с другом. Чтобы их можно было сложить, их необходимо привести к единому образцу.

Если это невозможно, значит, задача не имеет решения. Такие задачи тоже часто встречаются в учебниках математики в качестве своеобразной ловушки для учащихся. Не разрешается сложение в заданиях, когда подкоренные выражения отличаются друг от друга.

Это можно проиллюстрировать на наглядном примере:

  1. с помощью микрокалькулятора можно определить, что он составляет примерно 3,6. Теперь осталось проверить решение;
  2. неопытный ученик, не знающий правила, обычно пишет: «корень из 4 + корень из 9=корень из 13».
  3. перед учеником стоит задача: сложить квадратный корень из 4 и из 9;
  4. корень из 4=2, а из 9=3;
  5. Сумма чисел «два» и «три» равняется пяти. Таким образом, данный алгоритм решения можно считать неверным.
  6. доказать, что этот способ решения неправильный, очень просто. Для этого нужно найти квадратный корень из 13 и проверить, верно ли решен пример;

Если корни имеют одинаковую степень, но разные числовые выражения, он выносится за скобки, а в скобки вносится сумма двух подкоренных выражений.

Совет 1: Как складывать квадратные корни

1 октября 2011 Автор КакПросто!

Квадратным корнем из числа x называют число a, которое при умножении само на себя дает число x: a * a = a^2 = x, √x = a. Как и над любыми числами, над квадратными корнями можно выполнять арифметические операции сложения и вычитания. Статьи по теме:

  1. Как складывать квадратные корни
  2. Как вынести из-под знака корня Вопрос «Как определить объем трубы?Если ее длина 200м а диаметр 65мм.» — 4 ответа Инструкция 1 Во-первых, при сложении квадратных корней попробуйте извлечь эти корни.

    Это будет возможно, если числа под знаком корня являются полными квадратами. Например, пусть задано выражение √4 + √9. Первое число 4 – это квадрат числа 2.

    Второе число 9 – это квадрат числа 3.

    Таким образом получается, что: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.

    2 Если под знаком корня нет полных квадратов, то попробуйте вынести из под знака корня множитель числа. Например, пусть дано выражение √24 + √54. Разложите числа на множители: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3.

    В числе 24 имеется множитель 4, который можно вынести из под знака квадратного корня. В числе 54 — множитель 9. Таким образом, получается что: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6. В данном примере в результате выноса множителя из под знака корня получилось упростить заданное выражение.

    3 Пусть сумма двух квадратных корней является знаменателем дроби, например, A / (√a + √b).

    И пусть перед вами стоит задача «избавиться от иррациональности в знаменателе». Тогда можно воспользоваться следующим способом. Умножьте числитель и знаменатель дроби на выражение √a — √b.

    Таким образом в знаменателе получится формула сокращенного умножения: (√a + √b) * (√a — √b) = a – b. По аналогии, если в знаменателе дана разность корней: √a — √b, то числитель и знаменатель дроби необходимо умножить на выражение √a + √b.

    Для примера, пусть дана дробь 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ( (√3 + √5) * (√3 — √5) ) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3). 4 Рассмотрите более сложный пример избавления от иррациональности в знаменателе. Пусть дана дробь 12 / (√2 + √3 + √5).

    Необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение √2 + √3 — √5:12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / ( (√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 — √5) ) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 — √5) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

    5 И наконец, если вам необходимо только приблизительное значение, то можно посчитать значения квадратных корней на калькуляторе. Вычислите значения отдельно для каждого числа и запишите с необходимой точностью (например, два знака после запятой). А затем совершите требуемые арифметические операции, как с обычными числами.
    Например, пусть необходимо узнать приблизительное значение выражения √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

    Видео по теме Обратите внимание Квадратные корни ни в коем случае нельзя складывать как простые числа, т.е.

  3. Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Как складывать квадратные корни

Квадратным корнем из числа X называется число A, которое в процессе умножения самого на себя (A * A) может дать число X. Т.е. A * A = A2 = X, и √X = A.

Над квадратными корнями (√x), как и над другими числами, можно выполнять такие арифметические операции, как вычитание и сложение. Для вычитания и сложения корней их нужно соединить посредством знаков, соответствующих этим действиям (например √x — √y).

А потом привести корни к их простейшей форме — если между ними окажутся подобные, необходимо сделать приведение. Оно заключается в том, что берутся коэффициенты подобных членов со знаками соответствующих членов, далее заключаются в скобки и выводится общий корень за скобками множителя. Коэффициент, который мы получили, упрощается по обычным правилам.

Во-первых, для сложения квадратных корней сначала нужно эти корни извлечь.

Это можно будет сделать в том случае, если числа под знаком корня будут полными квадратами.

Для примера возьмем заданное выражение √4 + √9.

Первое число 4 является квадратом числа 2.

Второе число 9 является квадратом числа 3.

Таким образом, можно получить следующее равенство: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.

Все, пример решен. Но так просто бывает далеко не всегда. Если полных квадратов нет под знаком корня, можно попробовать вынести множитель числа из-под знака корня.

Для примера возьмём выражение √24 + √54. Раскладываем числа на множители:24 = 2 * 2 * 2 * 3,54 = 2 * 3 * 3 * 3. В числе 24 мы имеем множитель 4, его можно вынести из-под знака квадратного корня.

В числе 54 мы имеем множитель 9.

Получаем равенство:√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6.

Рассматривая данный пример, мы получаем вынос множителя из-под знака корня, тем самым упрощая заданное выражение. Рассмотрим следующую ситуацию: сумма двух квадратных корней – это знаменатель дроби, например, A / (√a + √b).

Теперь перед нами стоит задача «избавиться от иррациональности в знаменателе».

Воспользуемся следующим способом: умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение √a — √b. Формулу сокращённого умножения мы теперь получаем в знаменателе:(√a + √b) * (√a — √b) = a – b.

Аналогично, если в знаменателе имеется разность корней: √a — √b, числитель и знаменатель дроби умножаем на выражение √a + √b. Возьмём для примера дробь:4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ( (√3 + √5) * (√3 — √5) ) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3). Теперь будем рассматривать достаточно сложный пример избавления от иррациональности в знаменателе.

Для примера берём дробь: 12 / (√2 + √3 + √5).Нужно взять её числитель и знаменатель и перемножить на выражение √2 + √3 — √5. Получаем: 12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30. Если вам требуется только приблизительное значение, это можно сделать на калькуляторе путём подсчёта значения квадратных корней.

Отдельно для каждого числа вычисляется значение и записывается с необходимой точностью, которая определяется количеством знаков после запятой. Далее совершаются все требуемые операции, как с обычными числами.

Как складывать и вычитать квадратные корни

  2. /
  3. /
  4. /

16 Окт, 2014 0 Складывать и вычитать квадратные корни можно только при условии, что у них одинаковое подкоренное выражение, то есть вы можете сложить или вычесть 2v3 и 4v3, но не 2v3 и 2v5. Вы можете упростить подкоренное выражение, чтобы привести их к корням с одинаковыми подкоренными выражениями (а затем сложить или вычесть их).

  • Подчеркните корни, подкоренные выражения которых одинаковы. В нашем примере упрощенное выражение имеет вид: 30v2 — 4v2 + 10v3. В нем вы должны подчеркнуть первый и второй члены (30v2 и 4v2), так как у них одинаковое подкоренное число 2. Только такие корни вы можете складывать и вычитать.
  • 2v8 = 2v(4 x 2) = (2 x 2)v2 = 4v2. Здесь вы раскладываете 8 на множители 4 и 2; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 2 (множитель у корня) и получаете 4v2.
  • 5v12 = 5v(4 x 3) = (5 x 2)v3 = 10v3. Здесь вы раскладываете 12 на множители 4 и 3; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 5 (множитель у корня) и получаете 10v3.
  • Упростите подкоренное выражение (выражение под знаком корня). Для этого разложите подкоренное число на два множителя, один из которых является квадратным числом (число, из которого можно извлечь целый корень, например, 25 или 9). После этого извлеките корень из квадратного числа и запишите найденное значение перед знаком корня (под знаком корня останется второй множитель). Например, 6v50 — 2v8 + 5v12. Числа, стоящее перед знаком корня, являются множителями соответствующих корней, а числа под знаком корня – это подкоренные числа (выражения). Вот как решать данную задачу:
    • 6v50 = 6v(25 x 2) = (6 x 5)v2 = 30v2. Здесь вы раскладываете 50 на множители 25 и 2; затем из 25 извлекаете корень, равный 5, и 5 выносите из-под корня. Затем 5 умножаете на 6 (множитель у корня) и получаете 30v2.
    • 2v8 = 2v(4 x 2) = (2 x 2)v2 = 4v2. Здесь вы раскладываете 8 на множители 4 и 2; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 2 (множитель у корня) и получаете 4v2.
    • 5v12 = 5v(4 x 3) = (5 x 2)v3 = 10v3. Здесь вы раскладываете 12 на множители 4 и 3; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 5 (множитель у корня) и получаете 10v3.
  • У корней, подкоренные выражения которых одинаковы, сложите или вычтите множители, стоящие перед знаком корня, а подкоренное выражение оставьте прежним (не складывайте и не вычитайте подкоренные числа!).

    Идея в том, чтобы показать, сколько всего корней с определенным подкоренным выражением содержится в данном выражении.

    • 30v2 — 4v2 + 10v3 =
    • (30 — 4)v2 + 10v3 =
    • 26v2 + 10v3
  • (30 — 4)v2 + 10v3 =
  • 6v50 = 6v(25 x 2) = (6 x 5)v2 = 30v2. Здесь вы раскладываете 50 на множители 25 и 2; затем из 25 извлекаете корень, равный 5, и 5 выносите из-под корня.

    Затем 5 умножаете на 6 (множитель у корня) и получаете 30v2.

  • 26v2 + 10v3
  • Если вам дано выражение с большим количеством членов, многие из которых имеют одинаковые подкоренные выражения, используйте одинарное, двойное, тройное подчеркивание для обозначения таких членов, чтобы облегчить решение этого выражения.
  • 30v2 — 4v2 + 10v3 =
  • Теперь сложите множители у корней: 3v5 + 4v5 = 7v5
  • Упростите v(45).

    Разложите 45 на множители: v(45) = v(9 x 5).

  • Пример 2: 6v(40) — 3v(10) + v5.
    • Упростите 6v(40). Разложите 40 на множители: 6v(40) = 6v(4 x 10).
  • Вынесите 3 из-под корня (v9 = 3): v(45) = 3v5.
  • Пример 1: v(45) + 4v5.
    • Упростите v(45). Разложите 45 на множители: v(45) = v(9 x 5).
    • Вынесите 3 из-под корня (v9 = 3): v(45) = 3v5.
    • Теперь сложите множители у корней: 3v5 + 4v5 = 7v5
  • Упростите 6v(40).

    Разложите 40 на множители: 6v(40) = 6v(4 x 10).

Как складывать квадратные корни

Квадратным корнем из числа X называется число A, которое в процессе умножения самого на себя (A * A) может дать число X.

Т.е. A * A = A2 = X, и √X = A.

Над квадратными корнями (√x), как и над другими числами, можно выполнять такие арифметические операции, как вычитание и сложение.

Для вычитания и сложения корней их нужно соединить посредством знаков, соответствующих этим действиям (например √x — √y). А потом привести корни к их простейшей форме — если между ними окажутся подобные, необходимо сделать приведение.

Оно заключается в том, что берутся коэффициенты подобных членов со знаками соответствующих членов, далее заключаются в скобки и выводится общий корень за скобками множителя. Коэффициент, который мы получили, упрощается по обычным правилам. Во-первых, для сложения квадратных корней сначала нужно эти корни извлечь.

Это можно будет сделать в том случае, если числа под знаком корня будут полными квадратами. Для примера возьмем заданное выражение √4 + √9.

Первое число 4 является квадратом числа 2.

Второе число 9 является квадратом числа 3. Таким образом, можно получить следующее равенство: √4 + √9 = 2 + 3 = 5. Все, пример решен. Но так просто бывает далеко не всегда.

Если полных квадратов нет под знаком корня, можно попробовать вынести множитель числа из-под знака корня. Для примера возьмём выражение √24 + √54. Раскладываем числа на множители: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3.

В числе 24 мы имеем множитель 4, его можно вынести из-под знака квадратного корня.

В числе 54 мы имеем множитель 9.

Получаем равенство: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6. Рассматривая данный пример, мы получаем вынос множителя из-под знака корня, тем самым упрощая заданное выражение. Рассмотрим следующую ситуацию: сумма двух квадратных корней – это знаменатель дроби, например, A / (√a + √b).
Теперь перед нами стоит задача «избавиться от иррациональности в знаменателе». Воспользуемся следующим способом: умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение √a — √b.

Формулу сокращённого умножения мы теперь получаем в знаменателе: (√a + √b) * (√a — √b) = a – b. Аналогично, если в знаменателе имеется разность корней: √a — √b, числитель и знаменатель дроби умножаем на выражение √a + √b.

Возьмём для примера дробь: 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ( (√3 + √5) * (√3 — √5) ) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3).

Теперь будем рассматривать достаточно сложный пример избавления от иррациональности в знаменателе.

Для примера берём дробь: 12 / (√2 + √3 + √5). Нужно взять её числитель и знаменатель и перемножить на выражение √2 + √3 — √5. Получаем: 12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Если вам требуется только приблизительное значение, это можно сделать на калькуляторе путём подсчёта значения квадратных корней. Отдельно для каждого числа вычисляется значение и записывается с необходимой точностью, которая определяется количеством знаков после запятой. Далее совершаются все требуемые операции, как с обычными числами.

Как вычитать корни

4 марта 2012 Автор КакПросто! Этот вопрос относится не к непосредственному вычитанию корней (вычислить разность двух чисел можно и не прибегая к услугам интернета, да и вместо «вычитание» записывают «разность»), а вычислению вычета корня, более точно в корне.

Тема относится к теории функции комплексных переменных (ТФКП). Статьи по теме:

  2. Как вычислять кубические корни Вопрос «Как определить объем трубы?Если ее длина 200м а диаметр 65мм.» — 4 ответа Инструкция 1 Если ФКП f(z) является аналитической в кольце 0 2 Если все коэффициенты главной части ряда Лорана равны нулю, то особая точка z0 называется устранимой особой точкой функции. Разложение в ряд Лорана в этом случае имеет вид (рис.

    1b). Если главная часть ряда Лорана содержит конечное число k слагаемых, то особая точка z0 называется полюсом k-го порядка функции f(z). Если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов, то особая точка называется существенной особой точкой функции f(z). 3 Пример 1. Функция w=(z-2)/[((z-3)^2)z((z+1)^3)] имеет особые точки: z=3 – полюс второго порядка, z=0 полюс первого порядка, z=-1 — полюс третьего порядка.

    Обратите внимание, что все полюсы найдены путем нахождения корней уравнения ((z-3)^2)z((z+1)^3)=0. 4 Вычетом аналитической функции f(z) в выколотой окрестности точки z0 называют коэффициент с(-1) в разложении функции в ряд Лорана. Обозначается res[f(z), z0]. Учитывая формулу вычисления коэффициентов ряда Лорана, в частности, коэффициента с(-1) получается (см.

    рис. 2). Здесь γ – некоторый кусочно-гладкий замкнутый контур, ограничивающий односвязную область, содержащую точку z0 (например, окружность малого радиуса с центром в точке z0), и лежащую в кольце 0 5 Итак, для нахождения вычета функции в изолированной особой точке следует либо разложить функцию в ряд Лорана и определить из этого разложения коэффициент с(-1), либо вычислить интеграл рисунка 2. Существуют и другие способы вычисления вычетов. Так, если точка z0 является полюсом порядка k функции f(z), то вычет в этой точке вычисляется по формуле (см.

    рис.3). 6 Если функция f(z)=φ(z)/ψ(z), где φ(z0)≠0, а ψ(z) имеет простой корень (кратности один) в z0, то ψ’(z0)≠0 и z0 является простым полюсом f(z). Тогда res[f(z),z0]= φ(z0)/ψ’(z0). Из этого правила достаточно наглядно вытекает вывод.

    Первое, что делается при нахождении особых точек – это знаменателя ψ(z).

    Обратите внимание Тренировка ума никогда не помещает.

    Особенно для тех, кто не так часто работает с цифрами, а уж тем более с корнями.

    Сложение и вычитание корней — хорошая разминка для скучающего ума. Нельзя складывать или вычитать выражения с разными подкоренными выражениями. Сложение корней требует соблюдение этого правила.

    Полезный совет Сложение и вычитание корней.

    Для сложения и вычитания корней соединяют их посредством знаков этих действий.

  3. Как извлечь корень кубический

Какие трудности ждут тех, кто взялся выполнять сложение корней?

April 28, 2015 Обсудить 0 0 Тема про квадратные корни является обязательной в школьной программе курса математики.

Без них не обойтись при решении А позже появляется необходимость не только извлекать корни, но и выполнять с ними другие действия. Среди них достаточно сложные: умножение и деление. Но есть и достаточно простые: вычитание и сложение корней.

Кстати, они только на первый взгляд кажутся такими.

Выполнить их без ошибок не всегда оказывается просто для того, кто только начинает с ними знакомиться.Это действие возникло в противовес возведению в степень.

Математика предполагает наличие двух противоположных операций. На сложение существует вычитание.

Умножению противостоит деление.

Обратное действие степени — это извлечение соответствующего корня.Если в степени стоит двойка, то и корень будет квадратным.

Он является самым распространенным в школьной математике.

У него даже нет указания, что он квадратный, то есть возле него не приписывается цифра 2. Математическая запись этого оператора (радикала) представлена на рисунке.Из описанного действия плавно вытекает его определение. Чтобы извлечь из некоторого числа, нужно выяснить, какое даст при умножении на себя подкоренное выражение.

Это число и будет квадратным корнем.

Если записать это математически, то получится следующее: х*х=х2=у, значит √у=х.По своей сути корень — это дробная степень, у которой в числителе стоит единица. А знаменатель может быть любым. Например, у квадратного корня он равен двум.

Поэтому все действия, которые можно выполнить со степенями, будут справедливы и для корней.И требования к этим действиям у них одинаковые. Если умножение, деление и возведение в степень не встречают затруднений у учеников, то сложение корней, как и их вычитание, иногда приводит в замешательство.

А все потому что хочется выполнить эти операции без оглядки на знак корня. И здесь начинаются ошибки.Сначала нужно запомнить два категорических «нельзя»:

    нельзя выполнять сложение и вычитание корней, как у то есть невозможно записать подкоренные выражения суммы под один знак и выполнять с ними математические операции;нельзя складывать и вычитать корни с разными показателями, например квадратный и кубический.

Наглядный пример первого запрета: √6 + √10 ≠ √16, но √(6 + 10) = √16.Во втором случае лучше ограничиться упрощением самих корней.

А в ответе оставить их сумму.Найти и сгруппировать подобные корни.

То есть те, у которых не только стоят одинаковые числа под радикалом, но и они сами с одним показателем.Выполнить сложение корней, объединенных в одну группу первым действием. Оно легко осуществимо, потому что нужно только сложить значения, которые стоят перед радикалами.Извлечь корни в тех слагаемых, в которых подкоренное выражение образует целый квадрат.

Другими словами, не оставлять ничего под знаком радикала.Упростить подкоренные выражения. Для этого нужно разложить их на простые множители и посмотреть, не дадут ли они квадрата какого-либо числа.

Как вычесть корень из числа?

— Полезная информация для всех

Сложение и вычитание корней — один из наиболее распространенных «камней преткновения» для тех, кто проходит курс математики (алгебры) в средней школе.

Однако научиться правильно складывать и вычитать их очень важно, потому что примеры на сумму или разность корней входят в программу базового Единого Государственного Экзамена по дисциплине «математика». Для того чтобы освоить решение таких примеров, необходимо две вещи — разобраться в правилах, а также наработать практику. Решив один-два десятка типовых примеров, школьник доведет этот навык до автоматизма, и тогда ему уже будет нечего бояться на ЕГЭ.

Начинать освоение арифметических действий рекомендуется со сложения, потому что складывать их немного проще, чем вычитывать . Что такое корень Проще всего объяснить это на примере квадратного корня.

В математике имеется устоявшийся термин «возвести в квадрат». «Возвести в квадрат» означает однократно умножить конкретное число само на себя.

Например, если возвести в квадрат 2, получится 4. Если возвести в квадрат 7, получится 49. Квадрат числа 9 равен 81. Таким образом, квадратный корень из 4 — это 2, из 49 — это 7, а из 81 — это 9.

Как правило, обучение этой теме в математике начинается именно с квадратных корней. Для того, чтобы сходу определять его, учащийся средней школы должен наизусть знать таблицу умножения.

Тем, кто нетвердо знает эту таблицу, приходится пользоваться подсказками. Обычно процесс извлечения корневого квадрата из числа приводится в виде таблицы на обложках многих школьных тетрадей по математике. Корни бывают следующих типов:

    квадратные; кубические (или так называемые третьей степени); четвертой степени; пятой степени.

    И так далее. В качестве степени может выступать любое число. Правила сложения Для того чтобы успешно решить типовой пример, необходимо иметь в виду, что не все корневые числа можно складывать друг с другом.

    Чтобы их можно было сложить, их необходимо привести к единому образцу.

    Если это невозможно, значит, задача не имеет решения. Такие задачи тоже часто встречаются в учебниках математики в качестве своеобразной ловушки для учащихся. Не разрешается сложение в заданиях, когда подкоренные выражения отличаются друг от друга.

    Это можно проиллюстрировать на наглядном примере:

      перед учеником стоит задача: сложить квадратный корень из 4 и из 9; неопытный ученик, не знающий правила, обычно пишет: «корень из 4 + корень из 9=корень из 13».
      доказать, что этот способ решения неправильный, очень просто. Для этого нужно найти квадратный корень из 13 и проверить, верно ли решен пример; с помощью микрокалькулятора можно определить, что он составляет примерно 3,6. Теперь осталось проверить решение; корень из 4=2, а из 9=3; Сумма чисел «два» и «три» равняется пяти.
      Таким образом, данный алгоритм решения можно считать неверным.

      Если корни имеют одинаковую степень, но разные числовые выражения, он выносится за скобки, а в скобки вносится сумма двух подкоренных выражений.

Деление корней: правила, методы, примеры

Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.

Единственное, что необходимо все время держать в голове — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь.

Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе. Yandex.RTB R-A-339285-1 Алгоритм действий: Записать дробь Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.

144÷36, это выражение следует переписать так: 14436 Использовать один знак корня В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.

Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.

14436. Это выражение следует записать так: 14436 Разделить подкоренные выражения Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня. 14436=4, запишем это выражение так: 14436=4 Упростить подкоренное выражение (если необходимо) Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение. Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.

4 — полный квадрат, потому что 2×2=4. Из этого следует: 4=2×2=2. Поэтому 14436=4=2.

Алгоритм действий: Записать дробь Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так).

Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители. 8÷36, переписываем так 836 Разложить на множители каждое из подкоренных выражений Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.

836=2×2×26×6 Упростить числитель и знаменатель дроби Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня. 2266×62×2×2, из этого следует: 836=226 Рационализировать знаменатель (избавиться от корня) В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе — признак плохого тона, т.е.

нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него. Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться. В выражении 623 необходимо умножить числитель и знаменатель на 3, чтобы избавиться от него в знаменателе: 623×33=62×33×3=669=663 Упростить полученное выражение (если необходимо) Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить.

Упрощайте такие выражения, как и любую дробь. 26 упрощается до 13; таким образом 226упрощается до 123=23 Алгоритм действий: Упростить множители Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня.

Действие с корнями: сложение и вычитание

Извлечение квадрантного корня из числа не единственная операция, которую можно производить с этим математическим явлением.

Так же как и обычные числа, квадратные корни складывают и вычитают. Yandex.RTB R-A-339285-1 Такие действия, как сложение и вычитание квадратного корня, возможны только при условии одинакового подкоренного выражения. Можно сложить или вычесть выражения 23 и 63, но не 56 и 94.

Если есть возможность упростить выражение и привести его к корням с одинаковым подкоренным числом, то упрощайте, а потом складывайте или вычитайте. 650-28+512 Алгоритм действия:

  • Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня. Обращаем ваше внимание, что второй множитель заносится под знак корня.
  • После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
  • Упростить подкоренное выражение. Для этого необходимо разложить подкоренное выражение на 2 множителя, один из которых, — квадратное число (число, из которого извлекается целый квадратный корень, например, 25 или 9).
  • У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!

Если у вас пример с большим количеством одинаковых подкоренных выражений, то подчеркивайте такие выражения одинарными, двойными и тройными линиями, чтобы облегчить процесс вычисления.

Давайте попробуем решить данный пример: 650=6(25×2)=(6×5)2=302. Для начала необходимо разложить 50 на 2 множителя 25 и 2, затем извлечь корень из 25, который равен 5, а 5 вынести из-под корня.

После этого нужно умножить 5 на 6 (множитель у корня) и получить 302.

28=2(4×2)=(2×2)2=42. Сперва необходимо разложить 8 на 2 множителя: 4 и 2.

Затем из 4 извлечь корень, который равен 2, а 2 вынести из-под корня.

После этого нужно умножить 2 на 2 (множитель у корня) и получить 42.

512=5(4×3)=(5×2)3=103. Сперва необходимо разложить 12 на 2 множителя: 4 и 3.

Затем извлечь из 4 корень, который равен 2, и вынести его из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 5 (множитель у корня) и получить 103.

Результат упрощения: 302-42+103 302-42+103=(30-4)2+103=262+103. В итоге мы увидели, сколько одинаковых подкоренных выражений содержится в данном примере.

А сейчас попрактикуемся на других примерах. (45)+45:

  1. Упрощаем (45). Раскладываем 45 на множители: (45)=(9×5);
  2. Складываем множители у корней: 35+45=75.
  3. Выносим 3 из-под корня (9=3):45=35;

640-310+5:

  1. Поскольку у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, мы можем
  2. Записываем выражение в упрощенном виде: 1210-310+5;
  3. Выносим 2 из-под корня (4=2):640=6(4×10)=(6×2)10;
  4. Перемножаем множители, которые стоят перед корнем: 1210;
  5. Упрощаем 640. Раскладываем 40 на множители: 640=6(4×10);

Как складывать и вычитать квадратные корни

Содержимое: 2 части: Складывать и вычитать квадратные корни можно только при условии, что у них одинаковое подкоренное выражение, то есть вы можете сложить или вычесть 2√3 и 4√3, но не 2√3 и 2√5.

Вы можете упростить подкоренное выражение, чтобы привести их к корням с одинаковыми подкоренными выражениями (а затем сложить или вычесть их).

  • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Здесь вы раскладываете 50 на множители 25 и 2; затем из 25 извлекаете корень, равный 5, и 5 выносите из-под корня. Затем 5 умножаете на 6 (множитель у корня) и получаете 30√2.
  • 3 Если вам дано выражение с большим количеством членов, многие из которых имеют одинаковые подкоренные выражения, используйте одинарное, двойное, тройное подчеркивание для обозначения таких членов, чтобы облегчить решение этого выражения.
  • 30√2 — 4√2 + 10√3 =
  • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Здесь вы раскладываете 8 на множители 4 и 2; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 2 (множитель у корня) и получаете 4√2.
  • 2 Подчеркните корни, подкоренные выражения которых одинаковы. В нашем примере упрощенное выражение имеет вид: 30√2 — 4√2 + 10√3. В нем вы должны подчеркнуть первый и второй члены (30√2 и 4√2), так как у них одинаковое подкоренное число 2. Только такие корни вы можете складывать и вычитать.
  • 26√2 + 10√3
  • 4 У корней, подкоренные выражения которых одинаковы, сложите или вычтите множители, стоящие перед знаком корня, а подкоренное выражение оставьте прежним (не складывайте и не вычитайте подкоренные числа!). Идея в том, чтобы показать, сколько всего корней с определенным подкоренным выражением содержится в данном выражении.
    • 30√2 — 4√2 + 10√3 =
    • (30 — 4)√2 + 10√3 =
    • 26√2 + 10√3
  • (30 — 4)√2 + 10√3 =
  • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Здесь вы раскладываете 12 на множители 4 и 3; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня.

    Затем 2 умножаете на 5 (множитель у корня) и получаете 10√3.

  • 1 (выражение под знаком корня). Для этого разложите подкоренное число на два множителя, один из которых является квадратным числом (число, из которого можно извлечь целый корень, например, 25 или 9). После этого извлеките корень из квадратного числа и запишите найденное значение перед знаком корня (под знаком корня останется второй множитель).

    Например, 6√50 — 2√8 + 5√12. Числа, стоящее перед знаком корня, являются множителями соответствующих корней, а числа под знаком корня – это подкоренные числа (выражения). Вот как решать данную задачу:

    • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Здесь вы раскладываете 50 на множители 25 и 2; затем из 25 извлекаете корень, равный 5, и 5 выносите из-под корня. Затем 5 умножаете на 6 (множитель у корня) и получаете 30√2.
    • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Здесь вы раскладываете 8 на множители 4 и 2; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 2 (множитель у корня) и получаете 4√2.
    • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Здесь вы раскладываете 12 на множители 4 и 3; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 5 (множитель у корня) и получаете 10√3.
  • 2 Пример 2: 6√(40) — 3√(10) + √5.

    • Упростите 6√(40). Разложите 40 на множители: 6√(40) = 6√(4 x 10).
    • Вынесите 2 из-под корня (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
    • Перемножьте множители перед корнем и получите 12√10.
    • Теперь выражение можно записать в виде 12√10 — 3√(10) + √5.
  • Вынесите 2 из-под корня (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
  • Теперь сложите множители у корней: 3√5 + 4√5 = 7√5
  • 1 Пример 1: √(45) + 4√5.

    • Упростите √(45). Разложите 45 на множители: √(45) = √(9 x 5).
    • Вынесите 3 из-под корня (√9 = 3): √(45) = 3√5.
    • Теперь сложите множители у корней: 3√5 + 4√5 = 7√5
  • Упростите 6√(40).

    Разложите 40 на множители: 6√(40) = 6√(4 x 10).

  • Перемножьте множители перед корнем и получите 12√10.
  • Вынесите 3 из-под корня (√9 = 3): √(45) = 3√5.
  • Упростите √(45). Разложите 45 на множители: √(45) = √(9 x 5).
  • Теперь выражение можно записать в виде 12√10 — 3√(10) + √5.

Как вычитать корни с числами

Извлечение квадрантного корня из числа не единственная операция, которую можно производить с этим математическим явлением.

Так же как и обычные числа, квадратные корни складывают и вычитают.

Такие действия, как сложение и вычитание квадратного корня, возможны только при условии одинакового подкоренного выражения. Можно сложить или вычесть выражения 2 3 и 6 3 , но не 5 6 и 9 4 .

Если есть возможность упростить выражение и привести его к корням с одинаковым подкоренным числом, то упрощайте, а потом складывайте или вычитайте.

  • У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!
  • Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня. Обращаем ваше внимание, что второй множитель заносится под знак корня.
  • После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
  • Упростить подкоренное выражение. Для этого необходимо разложить подкоренное выражение на 2 множителя, один из которых, — квадратное число (число, из которого извлекается целый квадратный корень, например, 25 или 9).

Если у вас пример с большим количеством одинаковых подкоренных выражений, то подчеркивайте такие выражения одинарными, двойными и тройными линиями, чтобы облегчить процесс вычисления. Давайте попробуем решить данный пример: 6 50 = 6 ( 25 × 2 ) = ( 6 × 5 ) 2 = 30 2 .

Для начала необходимо разложить 50 на 2 множителя 25 и 2, затем извлечь корень из 25, который равен 5, а 5 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 5 на 6 (множитель у корня) и получить 30 2 . 2 8 = 2 ( 4 × 2 ) = ( 2 × 2 ) 2 = 4 2 .

Сперва необходимо разложить 8 на 2 множителя: 4 и 2. Затем из 4 извлечь корень, который равен 2, а 2 вынести из-под корня.

После этого нужно умножить 2 на 2 (множитель у корня) и получить 4 2 . 5 12 = 5 ( 4 × 3 ) = ( 5 × 2 ) 3 = 10 3 .

Сперва необходимо разложить 12 на 2 множителя: 4 и 3. Затем извлечь из 4 корень, который равен 2, и вынести его из-под корня.

После этого нужно умножить 2 на 5 (множитель у корня) и получить 10 3 . Результат упрощения: 30 2 — 4 2 + 10 3 30 2 — 4 2 + 10 3 = ( 30 — 4 ) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

В итоге мы увидели, сколько одинаковых подкоренных выражений содержится в данном примере.

А сейчас попрактикуемся на других примерах.

advokatnovikov.ru © 2020