Как быстро определять пропорции
Оглавление:
6.1.1. Пропорция. Основное свойство пропорции
Равенство двух отношений называют пропорцией. Тема: «» рассмотрена на предыдущем занятии («»).
a:b=c:d. Это пропорция. Читают: а так относится к b, как c относится к d. Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c – средними членами пропорции. Пример пропорции: 12 : 3 = 16 : 4.
Это равенство двух отношений: 12:3=4 и 16:4=4. Читают: двенадцать так относится к трем, как шестнадцать относится к четырем. Здесь 12 и 4 -крайние члены пропорции, а 3 и 16 — средние члены пропорции.
Основное свойство пропорции. Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.
Для пропорции a:b=c:d или a/b=c/d основное свойство записывается так: a·d=b·c. Для нашей пропорции 12 : 3 = 16 : 4 основное свойство запишется так: 12·4=3·16.
Получается верное равенство: 48=48. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов пропорции разделить на известный крайний член.
Примеры. Найти неизвестный крайний член пропорции.
1) х : 20 = 2 : 5. У нас х и 5 — крайние члены пропорции, а 20 и 2 — средние.
Решение. х = (20·2):5 — нужно перемножить средние члены (20 и 2) и результат разделить на известный крайний член (число 5); х = 40 : 5 — произведение средних членов (40) разделим на известный крайний член (5); х = 8. Получили искомый крайний член пропорции.
Удобнее записывать нахождение неизвестного члена пропорции с помощью обыкновенной дроби. Вот как тогда запишется рассмотренный нами пример:
Искомый крайний член пропорции (х) будет равен произведению средних членов (20 и 2), деленному на известный крайний член (5). Сокращаем дробь на 5 (делим на 5 и числитель и знаменатель дроби).
Находим значение х. Если забыли, как сокращать обыкновенные дроби, то повторите тему: «» Еще такие примеры на нахождение неизвестного крайнего члена пропорции. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член. Примеры. Найти неизвестный средний член пропорции.
5) 9 : х = 3 : 14. Число 3 — известный средний член данной пропорции, числа 9 и 14 — крайние члены пропорции. Решение. х = (9·14):3 — перемножим крайние члены пропорции и результат разделим на известный средний член пропорции; х= 136:3; х=42.
Решение этого примера можно записать иначе:
Искомый средний член пропорции (х) будет равен произведению крайних членов (9 и 14), деленному на известный средний член (3).
Сокращаем дробь на 3 (делим на 3 и числитель и знаменатель дроби). Находим значение х. Если забыли, как сокращать обыкновенные дроби, то повторите тему: «» Еще такие примеры на нахождение неизвестного среднего члена пропорции.
Запись имеет метки: , , , , Предыдущая статья: ← Следующая статья: →
Пропорция
Продолжаем изучать соотношения.
В данном уроке мы познакомимся с пропорцией. Пропорцией называют равенство двух отношений.
Например, отношение
равно отношению
Данная пропорция читается следующим образом: Десять так относится к пяти, как два относится к одному Предположим, что в классе 10 девочек и 5 мальчиков Запишем отношение десяти девочек к пяти мальчикам: 10 : 5 Преобразуем данное отношение в дробь Выполнив деление в этой дроби, мы получим 2.
То есть десять девочек так будут относиться к пяти мальчикам, что на одного мальчика будет приходиться две девочки Теперь рассмотрим другой класс в котором две девочки и один мальчик Запишем отношение двух девочек к одному мальчику: 2 : 1 Преобразуем данное отношение в дробь: Выполнив деление в этой дроби, мы снова получим 2. То есть две девочки так будут относиться к одному мальчику, что на этого одного мальчика будут приходиться две девочки: Можно сделать вывод, что отношение пропорционально отношению .
Поэтому оно и читалось как
«десять так относится к пяти, как два относится к одному»
. В нашем примере десять девочек так относятся к пяти мальчикам, как и две девочки относятся к одному мальчику.
Пример 2. Рассмотрим отношение 12 девочек к 3 мальчикам а также отношение 12 девочек к 2 мальчикам Данные отношения не являются пропорциональными.
Другими словами, мы не можем записать, что
, поскольку первое отношение, как видно на рисунке показывает, что на одного мальчика приходятся четыре девочки, а второе отношение показывает, что на одного мальчика приходятся шесть девочек.
Поэтому отношение
не пропорционально отношению
.
Из рассмотренных примеров видно, что пропорция составляется из дробей. Первая рассмотренная нами пропорция состоит из двух дробей.
Если выполнить деление в этих дробях, то получим, что 2=2. Понятно, что 2 равно 2. Вторая рассмотренная нами пропорция была . Понятно, что 4 не равно 6. Рассмотрим пропорцию
.
Данная пропорция составлена правильно, поскольку отношения
и
равны между собой: Можно проверить это, выполнив деление в этих дробях, то есть разделить 4 на 2, а 8 на 4.
Составить пропорцию
.
То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).Основное правило пропорции:a:b=c:dпроизведение крайних членов равно произведению среднихто естьa∙d=b∙c*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти.
Если рассматривать форму записи вида:то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагоналиa∙d=b∙cКак видите результат тот же.Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый. Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b, c – числа:Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение.
Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется?
Например:1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях «» и «».2.
Многие формулы заданы в виде пропорций: > теорема синусов > отношение элементов в треугольнике > теорема тангенсов> теорема Фалеса и другие.3.
В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3 и прочие.4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной мере, так и для перевода из одной меры в другую: — часы в минуты (и наоборот). — единицы объёма, площади. — длины, например мили в километры (и наоборот).
— градусы в радианы (и наоборот).здесь без составления пропорции не обойтись.Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:Необходимо определить число, которое составляет 35% от 700.В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.Иксу соответствует 35 процентов.
Значит,700 – 100%х – 35 %РешаемОтвет: 245Переведём 50 минут в часы.Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут. Обозначим соответсвие — x часов это 50 минут.
Значит1 – 60х – 50Решаем:То есть 50 минут это пять шестых часа.Ответ: 5/6Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?Известно, что 1 миля это 1,6 километра.
Как составить пропорцию
31 марта 2011 Автор КакПросто! От необходимости сложных математических расчетов у обычного человека кругом идет голова. Попробуйте-ка подсчитать, какова сумма подоходного налога от вашей зарплаты.
В этом случае вам поможет простое действие — составление пропорции.
Пропорция — это равенство двух частных. Записывается она в виде двух простых дробей, между которыми ставится знак равенства. Статьи по теме:
Вопрос «Как определить объем трубы?Если ее длина 200м а диаметр 65мм.» — 4 ответа Инструкция 1 Предположим, что ваша зарплата составляет 10000 рублей в месяц.
Это число будет делимым первой дроби. Поскольку ваша зарплата — это весь ваш доход за месяц, мы примем его за 100 процентов.
Это число будет делителем первой дроби. Итак, первая дробь — 10000/100. Составьте дробь с использованием своих чисел.
Например: x=10000*13/100. Следовательно, x=1300.
Это и есть сумма налога, удерживаемая с вас в месяц при доходе в 10000 рублей. Решите свою пропорцию. Совет полезен?
Да Нет Распечатать Поиск Статьи по теме:
Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта: inna-mukhina Эксперт историк Все эксперты в этой области
Как считается пропорция
x x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Пропо́рция — это равенство двух отношений, когда a:b=c:d средние ╭члены╮ 1:10=7:70 ╰крайние члены╯ 0,1=0,1 1 10 = 7 70 Произведение крайних членов равно произведению средних членов (крест-накрест): если a:b=c:d, то a⋅d=b⋅c 1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7 Обращение пропорции: если a:b=c:d, то b:a=d:c 1 10 7 70 10 1 = 70 7 Перестановка средних членов: если a:b=c:d, то a:c=b:d 1 10 7 70 1 7 = 10 70 Перестановка крайних членов: если a:b=c:d, то d:b=c:a 1 10 7 70 70 10 = 7 1 1 : 10 = x : 70 1 10 = x 70 Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение x = 1 ⋅ 70 10 = 7 Задача: нужно пить 1 таблетку активированного угля на 10 килограмм веса. Сколько таблеток нужно выпить, если человек весит 70 кг?
Составим пропорцию: 1 таблетка — 10 кг x таблеток — 70 кг Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение: 1 таблетка x таблеток ✕ 10 кг 70 кг x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Ответ: 7 таблеток Задача: за пять часов Вася пишет две статьи.
Сколько статей он напишет за 20 часов?
Составим пропорцию: 2 статьи — 5 часов x статей — 20 часов x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Ответ: 8 статей Будущим выпускникам школ могу сказать, что умение составлять пропорции мне пригодилось и , и для того, чтобы пропорционально уменьшать картинки, и в HTML-вёрстке интернет-страницы, и в бытовых ситуациях. Штиф ВаслерПрикольно, как всегда интересная тема! Можно использовать, например, при расчете калорийности пищи, полезно для худеющих или, наоборот, бодибилдеров) russYliushaРебята, как узнать сколько мне платят в час?
Работал 80 часов, а получил 1000 €. Как правильно посчитать сколько мне выходит в час?
NMitra1 час — x € 80 часов — 1000 € x = 1000 : 80 = 12,5 € (в час) Артур НечипурукПри цене барреля $94 один литр бензина стоил 23 руб. Cколько будет стоить бензин при цене барреля $42? Благо голова ещё не насколько отупела, чтобы не решить это самостоятельно.
$42 — x руб. х = 42 ⋅ 23 : 94 (умножаем «накрест» и делим на знаменник) ≈ 10
Пропорции, члены пропорции, основное свойство пропорции
Частное от деления числа a на число b называют отношением числа a к числу b.
Число a называют предыдущим членом отношения, число b – последующим членом отношения. Пропорцией называют равенство двух отношений:
. Иногда пропорцию записывают так:a : b = c : d .
И в одной, и во второй формах записи пропорции числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c – средними членами пропорции. Для любой пропорции справедливо следующее равенство, которое называют основным свойством пропорции: Словесно это равенство можно сформулировать так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции.
Для того, чтобы доказать основное свойство пропорции, умножим пропорцию на выражение
. В результате получим:что и требовалось доказать. Основное свойство пропорции позволяет по трем любым известным членам пропорции найти четвертый неизвестный член пропорции.
Покажем это на двух примерах.
Пример 1. Найти неизвестный член пропорции x , если Решение.
Воспользовавшись основным свойством пропорции, получаем: Ответ: 3,15 .
Пример 2. Найти неизвестный член пропорции x , если Решение. Воспользовавшись основным свойством пропорции, получаем: Ответ:
. Из основного свойства пропорции легко вытекают также свойства пропорции, которые называют перестановкой членов пропорции.
Эти свойства формулируются так: если.то Справедливы также свойства пропорции, которые называют производными пропорциями. Эти свойства формулируются так: если,то
,
,
,
,
,
.
В качестве примера докажем первое из указанных свойств (остальные свойства доказываются аналогично). Для этого к обеим частям пропорции.достаточно прибавить 1. В результате получаем,что и требовалось.
Замечание. Последнее из свойств пропорций является наиболее общим и может быть доказано, например, с помощью основного свойства пропорции.
Если выполнено соотношението выполнено и соотношениегдеk1 , k2 , … kn– произвольные числа, которые не могут все одновременно равняться нулю. На сайте можно также ознакомиться с нашими .
Пропорции, формула
Определение Пропорция — это верное равенство двух отношений.
Где a ? 0, b ? 0, c ? 0, d ? 0.
a и d — называют крайними членами пропорции; b и c — называют средними членами пропорции.
Пример 3 = 18 или 3 : 5 = 18 : 30; 5 30 7 = 21 или 7 : 3 = 21 : 9; 3 9 12 = 48 или 12 : 15 = 48 : 60. 15 60 Свойство
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Пример 12 = 24 , значит 12 • 8 = 4 • 24; 4 8 11 = 33 , значит 11 • 21 = 7 • 33; 7 21 23 = 69 , значит 23 • 42 = 14 • 69.
14 42 Свойство
Пример 11 • 4 = 2 • 22 значит, 11 = 22 ; 2 4 21 • 6 = 42 • 3 значит, 21 = 42 ; 3 6 33 • 21 = 7 • 99 значит, 33 = 99 . 7 21 Правило
Пример 4 = 8 или 7 = 14 или 8 = 17 или 4 = 7 ; 7 14 4 8 4 7 8 14 5 = 10 или 6 = 12 или 10 = 12 или 5 = 6 ; 6 12 5 10 5 6 10 12 9 = 18 или 3 = 6 или 6 = 18 или 9 = 3 . 3 6 9 18 3 9 18 6 Правило ! По трем известным членам пропорции всегда можно найти ее неизвестный член.
Пример 15 = x , значит x = 15 • 14 = 15 • 2 = 30; 7 14 7 21 = x , значит x = 21 • 9 = 21 • 3 = 63; 3 9 3 33 = 99 , значит x = 4 • 99 = 4 • 3 = 12.
4 x 33 Определение Отношением двух чисел a и b называется их частное a : b. Показывает во сколько раз a больше b или какую часть число a составляет от b.1 Пример 1 Отношение числа 16 к числу 4 равно 16 : 4 = 4, т.е. 16 в 4 раза больше чем, чем 4.
Пример 2 Отношение числа 4 к числу 12 равно 4 : 12 = 13, т.е. 4 составляет треть от числа 12. Пример 3 Масса стакана с жидкостью равна 440г.
Стакан весит 40г. Какую часть всей массы составляет масса стакана? Во сколько раз масса стакана с жидкостью больше массы жидкости?
Решение: Масса стакана составляет 40 : 440 = 1 11 часть полной массы.
Масса жидкости равна 440 — 40 = 400г; масса стакана с жидкостью больше массы самой жидкости в 440 : 400 = 1,1 раза.
Пропорции, отношения Формулы по алфавиту: © 2020 Все права защищеныПри использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник
Совет 1: Как посчитать пропорцию
23 сентября 2011 Автор КакПросто!
Пропорция в переводе с латинского языка (proportio) означает соотношение, выравненность частей, то есть равенство двух отношений. Умение вычислять пропорции часто бывает необходимым в бытовых ситуациях. Статьи по теме:
Как найти пропорцию
17 апреля 2012 Автор КакПросто!
В математике пропорцией называют равенство двух отношений.
Для всех ее частей характерна взаимозависимость и неизменный результат. Достаточно рассмотреть один пример, чтобы понять принцип решения пропорций.
Статьи по теме:
Пропорция
Пропо́рция – равенство двух отношений, т. е. равенство вида a : b = c : d, или, в других обозначениях, равенство
Если a : b = c : d, то a и d называют крайними, а b и c — средними членами пропорции.
От « пропорции» никуда не деться, без нее не обойтись во многих задачах. Выход только один – разобраться с этим отношением и пользоваться пропорцией как палочкой-выручалочкой. Прежде чем приступать к рассмотрению задач на пропорцию, важно вспомнить основное правило пропорции: В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних
Если какая-то величина в пропорции неизвестна, ее легко будет найти, опираясь на это правило.
Например, или То есть неизвестная величина пропорции – значении дроби, в знаменателе которой – то число, которое стоит напротив неизвестной величины, в числителе – произведение оставшихся членов пропорции (независимо от того, где эта неизвестная величина стоит).
Задача 1. Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?
Решение: Мы понимаем, что уменьшение веса семени во сколько-то раз, влечет за собой уменьшение веса получаемого масла во столько же раз. То есть величины связаны прямой зависимостью. Заполним таблицу: Неизвестная величина – значение дроби
, в знаменателе которой – 21 – величина, стоящая напротив неизвестного в таблице, в числителе – произведение оставшихся членов таблицы-пропорции.
Поэтому получаем, что из 7 кг семени выйдет 1,7 кг масла.
Ответ: 1,7 Чтобы правильно заполнять таблицу, важно помнить правило: Одинаковые наименования нужно записывать друг под другом.
Проценты записываем под процентами, килограммы под килограммами и т.д Задача 2.
Перевести
в радианы. Решение: Мы знаем, что
.
Заполним таблицу: Откуда
Ответ:
Задача 3.
На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 27?